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运动电荷的辐射

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李纳 - 维谢尔势

考虑洛伦兹规范：𝜕𝜇𝐴𝜇=0，四维有源波动方程为：

𝜕𝜇𝜕𝜇𝐴𝜈=4𝜋𝑐𝐽𝜈

为了求解电磁势，关键是找到达朗伯算符 −𝜕𝜇𝜕𝜇 的格林函数 𝐷(𝑥,𝑥′)：

𝜕𝜇𝜕𝜇𝐷(𝑥,𝑥′)=𝛿4(𝑥−𝑥′)

物理上符合条件的格林函数是推迟格林函数：

𝐷+(𝑥,𝑥′)=−∫d4𝑘(2𝜋)4𝑒−𝑖𝑘⋅(𝑥−𝑥′)(𝑘0+𝑖𝜀)2−𝐤⋅𝐤=12𝜋𝜃(𝑥0−𝑥′0)𝛿[(𝑥−𝑥′)2]

四维的电流密度描述为：

𝐽𝜇(𝑥′)=𝑒𝑐2∫d𝜏𝑢𝜇(𝜏)𝛿4[𝑥′−𝑟(𝜏)]

得到四维的电磁势为

𝐴𝜇(𝑥)=2𝑒𝑐∫d𝜏𝑢𝜇(𝜏)𝜃[𝑥0−𝑟0(𝜏)]𝛿[(𝑥−𝑟(𝜏))2]

考虑狄拉克函数的零点，只有特定时间 𝜏0 有贡献，这时满足光锥条件

[𝑥−𝑟(𝜏0)]2=0

同时因果律要求推迟条件 𝑥0>𝑟0(𝜏0)。此时只存在一个零点，考虑狄拉克函数的性质

𝛿[(𝑥−𝑟(𝜏))2]=𝛿(𝜏−𝜏0)|dd𝜏(𝑥−𝑟(𝜏))2|𝜏=𝜏0

得到四维的电磁势为

𝐴𝜇(𝑥)=𝑒𝑢𝜇(𝜏)𝑢⋅[𝑥−𝑟(𝜏)]|𝜏=𝜏0

三维形式

定义三维距离为 𝐑=𝐱−𝐫(𝜏0)=𝑅𝐧，光锥条件 𝑥0−𝑟0(𝜏0)=𝑅，电磁势的分母为

𝑢⋅[𝑥−𝑟(𝜏)]=𝛾𝑅−𝛾𝛃⋅𝐧𝑅=𝛾𝑅(1−𝛃⋅𝐧)

三维形式的电磁势为

Φ(𝐱,𝑡)=𝑒(1−𝛃⋅𝐧)𝑅,𝐀(𝐱,𝑡)=𝑒𝛃(1−𝛃⋅𝐧)𝑅

电磁场方程为

𝐄=𝑒(𝐧−𝛃)𝛾2(1−𝛃⋅𝐧)3𝑅2+𝑒𝑐𝐧×[(𝐧−𝛃)×̇𝛃](1−𝛃⋅𝐧)3𝑅,𝐁=𝐧×𝐄

拉摩公式

考虑非相对论粒子的带电粒子的辐射功率和角分布。此时 𝛽≪1，电场可以写为

𝐄=[𝑒𝑐(𝑛)]

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