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相对论带电粒子的辐射

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相对论加速电荷的辐射

相对论情况下，玻印廷矢量沿径向单位向量 𝐧 的投影为：

(𝐒⋅𝐧)ret=𝑒24𝜋𝑐(1𝑅2|𝐧×[(𝐧−𝛃)×̇𝛃](1−𝛃⋅𝐧)3|2)

这实际上是观测者在 𝑡 时刻接收到的辐射功率，它来自带电粒子 𝑡′=𝑡−𝑅(𝑡′)/𝑐 时的辐射。我们更希望考虑一段时间间隔中，带电粒子辐射的能量，考虑到

(𝐒⋅𝐧)retd𝑡=(𝐒⋅𝐧)retd𝑡d𝑡′d𝑡′

所以在这里我们更加关注

(𝐒⋅𝐧)retd𝑡d𝑡′

这一项，然后两个时间之间的关系由下式给出：

d𝑡=d𝑡′(1−𝛃⋅𝐧)

最终的辐射角分布的表达式为

d𝑃(𝑡′)dΩ=𝑅2(𝐒⋅𝐧)d𝑡d𝑡′=𝑅2(𝐒⋅𝐧)(1−𝛃⋅𝐧)

速度与加速度平行

首先讨论速度与加速度平行的情况，把 𝑧 设定为速度方向，定义 𝜃 为速度 𝛃 和 𝐧 的夹角。这时

d𝑃(𝑡′)dΩ=𝑒24𝜋𝑐|𝐧×(𝐧×̇𝛃)|2(1−𝛃⋅𝐧)5=𝑒24𝜋𝑐3̇𝑣2sin2𝜃(1−𝛽cos𝜃)5

辐射强度最大时，对应的角度满足

cos𝜃max=√1+15𝛽−13𝛽

辐射的总功率为为

𝑃∥=𝑒24𝜋𝑐3∫̇𝑣2sin2𝜃(1−𝛽cos𝜃)5dΩ

对于角度相关项的积分，有

∫sin2𝜃(1−𝛽cos𝜃)5dΩ=∫2𝜋0d𝜑∫𝜋0sin2𝜃(1−𝛽cos𝜃)5d𝜃=2𝜋∫1−1𝑢2(1−𝛽𝑢)5d𝑢=8𝜋3𝛾6

代回得到总的辐射功率为

𝑃∥=2𝑒2̇𝑣23𝑐3𝛾6

速度与加速度垂直

取 𝛃=𝛽̂𝐞𝑧 和 {}̇𝛃=̇𝑣/𝑐̂𝐞𝑥{}，

̇𝛃⋅̂𝐧=̇𝑣𝑐sin𝜃cos𝜑𝛃⋅̂𝐧=𝛽cos𝜃

于是我们计算

̂𝐧×[(̂𝐧−𝛃)×̇𝛃]=(̂𝐧⋅̇𝛃)(𝐧−𝛃)−[̂𝐧⋅(̂𝐧−𝛃)]̇𝛃=̇𝑣𝑐sin𝜃cos𝜑(𝐧−𝛃)−(1−𝛽cos𝜃)̇𝛃

因此平方之后

|𝐧×[(𝐧−𝛃)×̇𝛃]|2=(̇𝑣𝑐)2[(1−𝛽cos𝜃)2+(sin𝜃cos𝜑)2(𝛽2−1)]

于是辐射角分布为

d𝑃(𝑡′)dΩ=𝑒2̇𝑣24𝜋𝑐3[(1−𝛽cos𝜃)2+(sin𝜃cos𝜑)2(𝛽2−1)](1−𝛽cos𝜃)5

积分得总的辐射功率为

𝑃⊥=2𝑒2̇𝑣23𝑐3𝛾4

一般情况下，可以将电场分解为平行于速度和垂直于速度的，则

𝐸2=𝐸2∥+𝐸2⊥+2𝐄∥⋅𝐄⊥

那么总的辐射功率存在三项，但是可以证明其中的交叉项的贡献为 0，于是

𝑃=𝑃∥+𝑃⊥=2𝑒23𝑐3[𝛾6𝑎2∥+𝛾4𝑎2⊥]

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