The Euler Equation

ๅœจไธ€ๅฎšๆ—ถ้—ด ๐›ฟ๐‘ก ๅ†…๏ผŒ็ฉฟ่ฟ‡ๆŸไธช่พน็•Œ็š„ๅŠจ้‡้€š้‡ไธบ

Momentum Flux=๐›ฟ๐‘กร—โˆซ๐‘†(๐œŒ๐ฎ)๐ฎโ‹…d๐’

ๅ…ถไธญ ๐‘†=๐œ•๐‘‰ใ€‚้‚ฃไนˆ่€ƒ่™‘ๆŸไธชไฝ“็งฏ ๐‘‰๏ผŒๆ€ป็š„ๅŠจ้‡ๅ˜ๅŒ–็އๅฏไปฅ็œ‹ๆˆไฝ“็งฏไธญๅŠจ้‡็š„ๆตๅ…ฅ้€š้‡ๅŠ ไธŠๆ‰€ๅ—็š„ๅˆๅค–ๅŠ›๏ผš

dd๐‘กโˆซ๐‘‰๐œŒ๐ฎd๐‘‰=โˆ’โˆซ๐‘†(๐œŒ๐ฎ)๐ฎโ‹…d๐’+Force

ๅˆฉ็”จๆ•ฃๅบฆๅฎš็†ๅฐ†ๅŠจ้‡้€š้‡้‚ฃไธ€้กน่ฝฌๆขไธบไฝ“็งฏๅˆ†๏ผŒ่€ƒ่™‘ๆŸไธชๅˆ†้‡ ๐‘–๏ผŒ

โˆซ๐‘†(๐œŒ๐‘ข๐‘–)๐ฎโ‹…d๐’=โˆซ๐‘‰๐œŒ๐›ยท๐‘ข๐‘–๐ฎd๐‘‰=โˆซ๐‘‰๐œŒ๐œ•๐œ•๐‘ฅ๐‘—(๐‘ข๐‘–๐‘ข๐‘—)d๐‘‰

็”ฑไบŽไธๅฏๅŽ‹็ผฉๆตไฝ“ ๐›ยท๐ฎ=๐œ•๐‘—๐‘ข๐‘—=0ใ€‚ๅฏไปฅๆœ‰ไธ‹้ข็š„ๅŒ–็ฎ€๏ผš

๐œ•๐‘—(๐‘ข๐‘–๐‘ข๐‘—)=๐‘ข๐‘–๐œ•๐‘—๐‘ข๐‘—+๐‘ข๐‘—๐œ•๐‘—๐‘ข๐‘–=๐ฎ๐›ยท๐ฎ+(๐ฎโ‹…๐›)๐ฎ

ๆ‰€ไปฅๆœ€็ปˆๆ–น็จ‹่ฝฌๅŒ–ไธบ๏ผš

โˆซ๐‘‰๐œŒ(๐œ•๐ฎ๐œ•๐‘ก+(๐ฎโ‹…๐›)๐ฎ)d๐‘‰=โˆซ๐‘‰๐œŒD๐ฎD๐‘กd๐‘‰=Force

ไธบไบ†็†่งฃ่ฟ™ไธชๆ–น็จ‹๏ผŒๆˆ‘ไปฌๅ›ž้กพ Basis ไธญๅ…ณไบŽ็‰ฉ่ดจๅพฎๅˆ†็š„ๅฎšไน‰๏ผŒๅฎƒ่กจ็คบๆŸไธช็‰ฉ่ดจๅ›ขๅœจๆตๅŠจ่ฟ‡็จ‹ไธญ็š„ๅ˜ๅŒ–็އ๏ผŒ็ ”็ฉถ็š„ๅฏน่ฑกๆ˜ฏ็‰ฉ่ดจๅ›ข่€Œไธๆ˜ฏ่ฏฅๅ›บๅฎš็‚นใ€‚ๅœจ่ฟ™้‡Œ๏ผŒๅฎƒ่กจ็คบ่ฏฅ็‰ฉ่ดจๅ›ขๅŠจ้‡็š„ๅ˜ๅŒ–็އ๏ผŒๆˆ‘ไปฌๅฐ†่ง†่ง’่ฝฌๆขไธบๆ‹‰ๆ ผๆœ—ๆ—ฅๆ่ฟฐ๏ผŒๆŸไธช็‰ฉ่ดจๅ›ขๅŠจ้‡็š„ๅ˜ๅŒ–็އ่‡ช็„ถๅฐฑๆ˜ฏๅ…ถๆ‰€ๅ—็š„ๅˆๅค–ๅŠ›ใ€‚

Pressure

ไปŽๅพฎ่ง‚ไธŠๆฅ่ฎฒ๏ผŒๅŽ‹ๅผบๆฅ่‡ชไบŽๅŽŸๅญๅ’Œๅˆ†ๅญ็š„่ฟๅŠจใ€‚่ฟ™้‡ŒๅชๆŠŠๅŽ‹ๅผบ่กจ็Žฐไธบไฝœ็”จไบŽๆตไฝ“่กจ้ข็š„ๅŠ›ใ€‚ๆ–ฝๅŠ ๅœจๆตไฝ“ๅ›ข ๐‘‰ ่กจ้ข ๐›ฟ๐‘† ็š„ๅŠ›่กจ็คบไธบ๏ผš

๐นpressure=โˆ’๐‘ƒ(๐ฑ,๐‘ก)๐ง๐›ฟ๐‘†

ๆตไฝ“่ฟๅŠจๆ–น็จ‹่ฝฌๆขไธบ

โˆซ๐‘‰๐œŒD๐ฎD๐‘กd๐‘‰=โˆ’โˆซ๐‘†๐‘ƒd๐’+Other Forces

ๅˆฉ็”จๆ•ฃๅบฆๅฎšไน‰ๅฐ†ๅŽ‹ๅผบ้กน่ฝฌๆขไธบไฝ“็งฏๅˆ†๏ผŒ็„ถๅŽ็บฆๅŽป็งฏๅˆ†ๅท๏ผŒๅพ—ๅˆฐๅพฎๅˆ†ๅฝขๅผไธบ๏ผš

๐œŒD๐ฎD๐‘ก=โˆ’๐›๐‘ƒ+๐Ÿ

่ฟ™ๅฐฑๆ˜ฏๆฌงๆ‹‰ๆ–น็จ‹ (Eular equation)ใ€‚ๆปก่ถณๆฌงๆ‹‰ๆ–น็จ‹็š„ๆตไฝ“็งฐไธบ็†ๆƒณ (ideal) ๆตไฝ“ใ€‚

ๆฌงๆ‹‰ๆ–น็จ‹ๆ˜ฏๅ‘้‡ๆ–น็จ‹๏ผŒๅ…ถๅŒ…ๅซไธ‰ไธชๆ–น็จ‹๏ผŒๅŠ ไธŠไธๅฏๅŽ‹็ผฉๆตไฝ“็š„ๆ–น็จ‹๏ผŒๆฑ‚่งฃๅ››ไธชๅŠจๅŠ›ๅญฆ้‡ ๐ฎ ๅ’Œ ๐‘ƒ ๅฐฑๆ˜ฏๆœฌ็ซ ็š„ไธป่ฆๅ†…ๅฎนใ€‚

Momentum Conservation

ๅ‡่ฎพๆฒกๆœ‰ๅ…ถไฝ™็š„ๅค–ๅŠ›๏ผŒๅณ ๐Ÿ=0๏ผŒ้‚ฃไนˆๆฌงๆ‹‰ๆ–น็จ‹่ƒฝ่ขซๅ†™ไธบ

๐œ•๐œŒ๐‘ข๐‘–๐œ•๐‘ก+๐œ•๐œ•๐‘ฅ๐‘—(๐œŒ๐‘ข๐‘–๐‘ข๐‘—+๐‘ƒ๐›ฟ๐‘–๐‘—)=0

ไปŽๆ–น็จ‹ๅฏไปฅ็œ‹ๅ‡บๅฎˆๆ’้‡ไธบไธ‰ไธชๆ–นๅ‘็š„ๅŠจ้‡๏ผŒๆ–นๅ‘ ๐‘– ็š„ๅŠจ้‡ๅฏนๅบ”ไธ€ไธชๆตใ€‚ไธ่ฟ‡ๅ’Œ็”ตๆตๅฎˆๆ’ๆ–น็จ‹ไธๅŒ็š„ๆ˜ฏ๏ผŒ่ฟ™้‡Œ็š„ๅŠจ้‡ๆ˜ฏไธ€ไธช็Ÿข้‡๏ผŒไธŽไน‹ๅฏนๅบ”็š„ๆตๆ˜ฏไธ€ไธชไบŒ้˜ถๅผ ้‡

ฮ ๐‘–๐‘—=๐œŒ๐‘ข๐‘–๐‘ข๐‘—+๐‘ƒ๐›ฟ๐‘–๐‘—

ๅผ ้‡่กจ็คบไบ† ๐‘– ๆ–นๅ‘็š„ๅŠจ้‡ๅ‘ ๐‘— ๆ–นๅ‘็š„ไผ ๆ’ญ้‡ใ€‚

Application of the Euler equation

Archimedesโ€™ Principle